这样培训机构谁来监管？

武汉留言板：我9月底在武汉忆学英才科技有限公司（地址：江岸区开明路4号中深智创活力小镇A栋301），为孩子报名其举办的记忆力训练培训班，在上了三次课后发现其没有相应的办学资质与出版物经营许可证（其出售的平板电脑里包含有学习APP，义务教育阶段各年级的语文，数学，英语等电子书）。咨询教育局，教育局说这个公司没有办理办学许可证，应先由市场监管部门管辖处理；然而江岸区市场监督管理局劳动所给我的答复是，这个公司没有办学许可证应由教育局管辖处理，没有出版物经营许可证，应由出版局管辖处理。
请问，这样的一家公司，到底是由哪个部门监督管辖？是否完全合法合规？

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官方回复：尊敬的张先生： 您好！您向市民热线·武汉城市留言板反映的诉求收到，现将办理情况回复如下：经查，武汉亿学英才科技有限公司，其100%控股母公司（才智英才教育科技（武汉）有限公司），经营范围含：出版物批发、出版物零售业务范围，其具有“出版物批发，出版物零售”的出版物经营许可。江岸区教育局专班人员于12月24日晚七点、12月25日上午两次到达位于江岸区开明路44号智创活力小镇的武汉忆学英才科技有限公司，该机构大门已锁，无人应答。针对您反映的学科培训问题，江岸区教育局后续会持续关注。12月25日11时44分，区教育局通过电话027-82220407向您反馈办理结果，您已知晓办理结果。 感谢您的信任和支持，区教育局将继续履行职责，做好解释工作。 经办单位： 主办 江岸区教育局 协办 区委宣传部